Foundations of Celestial Mechanics

<div>1 N-body problem 11</div><div>1.1 Self-gravitating systems of massive points . . . . . . . . . . . . . 14</div><div>1.2 Fundamental rst integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</div><div>1.2.1 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 18</div><div>1.2.2 Angular momentum conservation . . . . . . . . . . . . . 21</div><div>1.2.3 Energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</div><div>1.3 Barycentric and relative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</div><div>1.4 N-body problem solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</div><div>1.5 Virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</div><div>2 The two-body problem 31</div><div>2.1 Motion about center of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</div><div>2.2 Reduction to the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</div><div>2.3 E ective potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40</div><div>2.4 The trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</div><div>2.5 Laplace{Runge{Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43</div><div>2.6 Geometry of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</div><div>2.6.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</div><div>2.6.2 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</div><div>2.6.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</div><div>2.7 Conic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</div><div>2.7.1 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</div><div>2.7.2 Parabolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</div><div>2.7.3 Hyperbolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</div><div>2.8 Keplerian elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</div><div>2.9 Ephemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</div><div>2.10 The method of Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</div><div>2.11 Ballistics and space ight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</div><div>3 The three-body problem 85</div><div>3.1 Stationary solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87</div><div>3.1.1 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</div><div>3.1.2 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</div><div>3.2 The restricted problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97</div><div>3.3 Zero{velocity curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</div><div>3.3.1 The (x; y) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102</div><div>3.3.2 The (x; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</div><div>3.3.3 The (y; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105</div><div>3.4 About the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107</div><div>3.5 Stability of the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . 108</div><div>3.5.1 The equilibrium conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 108</div><div>3.5.2 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110</div><div>3.5.3 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111</div><div>3.6 Variation of the elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113</div><div>3.6.1 Variation of the orientation elements . . . . . . . . . . . 116</div><div>3.6.2 Variation of the geometric elements . . . . . . . . . . . . 118</div><div>4 Analytical mechanics 125</div><div>4.1 Lagrange function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127</div><div>4.2 Generalized coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129</div><div>4.3 Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</div><div>4.4 Hamilton function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133</div><div>4.5 Canonical equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137</div><div>4.6 Constants of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</div><div>4.7 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140</div><div>4.8 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150</div><div>4.8.1 Characteristic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151</div><div>4.8.2 Forms of the characteristic function . . . . . . . . . . . . 154</div><div>4.8.3 Canonicity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155</div><div>4.8.4 Canonical invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161</div><div>4.8.5 In nitesimal canonical transformations . . . . . . . . . . 163</div><div>4.8.6 Canonical systems of motion constants . . . . . . . . . . 168</div><div>4.8.7 Canonical elements for elliptical orbit . . . . . . . . . . . 175</div><div>4.9 Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179</div><div>4.9.1 Jacobi equation: special cases . . . . . . . . . . . . . . . 182</div><div>4.9.2 2{body problem with Hamilton{Jacoby . . . . . . . . . . 186</div><div>4.10 Element variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191</div><div>4.10.1 Constant variation method: an example . . . . . . . . . 194</div><div>4.11 Apsidal precession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197</div><div>4.12 Orbits in General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200</div><div>5 Gravitational potential 207</div><div>5.1 Gauss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208</div><div>5.2 Theorens of Poisson and Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 210</div><div>5.3 Potential of a massive point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212</div><div>5.4 Spherical bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215</div><div>5.5 Legendre equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221</div><div>5.5.1 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221</div><div>5.5.2 Legendre equation and spherical harmonics . . . . . . . . 223</div><div>5.5.3 Associated Legendre function . . . . . . . . . . . . . . . 225</div><div>5.5.4 Spherical harmonics of integer degree . . . . . . . . . . . 227</div><div>5.6 Expansion of the potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230</div><div>5.7 Thin layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233</div><div>5.8 Homogeneous spheroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235</div><div>5.9 Potential of a homogeneus ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . 238</div><div>5.10 Ellipsoid: outer point potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242</div><div>5.11 Potential: explicit form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244</div><div>5.12 Earth distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247</div><div>5.13 Potential with dominating body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249</div><div>5.14 Torus potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251</div><div>A Spherical trigonometry elements 261</div><div>B Transformation formulas 267</div><div>C Vector operators 271</div><div>D The mirror theorem 275</div><div>E Kepler's equation 277</div><div>E.1 Lagrange's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277</div><div>E.2 Fourier's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279</div><div>E.3 Numerical solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280</div><div>F Hydrogen atom 283</div><div>F.1 Bohr's atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284</div><div>F.2 Quantum approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285</div><div>G Variation of constants 287</div><div>H Lagrange multipliers 291</div><div>H.1 Variation of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292</div><div>I Visual binary orbits 295</div><div>J Three bodies: planarity 301</div><div>K Gravitational impact 305</div><div>L Poisson and Lagrange brackets 309</div><div>L.1 Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309</div><div>L.2 Lagrange brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311</div><div>L.3 Brackets of Poisson and Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 313</div><div>M Special functions 315</div><div>M.1 Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315</div><div>M.2 Beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317</div><div>M.3 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319</div><div>M.3.1 First kind Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 319</div><div>M.3.2 Second kind Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . 323</div><div>M.3.3 Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324</div><div>M.3.4 Modi ed Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 324</div><div>M.3.5 Spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 325</div><div>M.4 Hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327</div><div>M.5 Error function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329</div><div>N Orthogonal functions 331</div><div>N.1 Least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331</div><div>N.2 Orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334</div><div>N.3 Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335</div><div>N.4 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343</div><div>N.5 Application of spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . 348</div><div>N.6 Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350</div><div>N.7 Application of Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 352</div><div>N.8 Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352</div><div>N.9 Chebyshev polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355</div><div>O Harmonic functions 357</div><div>O.1 Special problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361</div><div>P Principles of mechanics 363</div><div>P.1 Variational formulation of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 363</div><div>P.2 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365</div><div>P.3 Maupertuis's principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368</div><div>P.4 Geodesic lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369</div><div>Q Invariance and conservation 373</div><div>Q.1 Continuous trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373</div><div>Q.2 Time-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375</div><div>Q.3 Invariance to translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375</div><div>Q.4 Rotational invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376</div><div>R Numerical methods 377</div><div>R.1 The Euler method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377</div><div>R.2 Implicit Runge-Kutta method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378</div><div>R.3 Runge-Kutta fourth-order method . . . . . . . . . . . . . . . . . 379</div><div><br></div>